【題目】已知函數(shù) .
(Ⅰ)當a>0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)當a=0時,設(shè)函數(shù)g(x)=xf(x)﹣k(x+2)+2.若函數(shù)g(x)在區(qū)間 上有兩個零點,求實數(shù)k的取值范圍.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(1)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點討論導(dǎo)函數(shù)符號,進而確定單調(diào)減區(qū)間(2)先利用分參法將方程零點轉(zhuǎn)化為研究函數(shù) 值域,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,最后根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)值域
試題解析:解:(Ⅰ)f(x)的定義域為(0,+∞),
f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=﹣ax+1+a﹣=﹣(a>0),
①當a∈(0,1)時,.
由f'(x)<0,得或x<1.
當x∈(0,1),時,f(x)單調(diào)遞減.
∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),;
②當a=1時,恒有f'(x)≤0,∴f(x)單調(diào)遞減.
∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞);
③當a∈(1,+∞)時,.
由f'(x)<0,得x>1或.
∴當,x∈(1,+∞)時,f(x)單調(diào)遞減.
∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,(1,+∞).
綜上,當a∈(0,1)時,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),;
當a=1時,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞);
當a∈(1,+∞)時,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,(1,+∞).
(Ⅱ)g(x)=x2﹣xlnx﹣k(x+2)+2在上有零點,
即關(guān)于x的方程在上有兩個不相等的實數(shù)根.
令函數(shù).
則.
令函數(shù).
則在上有p'(x)≥0.
故p(x)在上單調(diào)遞增.
∵p(1)=0,∴當時,有p(x)<0即h'(x)<0.∴h(x)單調(diào)遞減;
當x∈(1,+∞)時,有p(x)>0即h'(x)>0,∴h(x)單調(diào)遞增.
∵,h(1)=1,,
∴k的取值范圍為.
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【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2 )an+sin2 ,則該數(shù)列的前12項和為( )
A.211
B.212
C.126
D.147
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【題目】已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點 .
(1)求函數(shù)f(x)的解析式
(2)記g(x)=f(x)+x , 判斷g(x)在(1,+∞)上的單調(diào)性,并證明之.
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【題目】某批發(fā)市場對某種商品的日銷售量(單位:噸)進行統(tǒng)計,最近50天的統(tǒng)計結(jié)果如下:
若以上表中頻率作為概率,且每天的銷售量相互獨立.
(1)求5天中該種商品恰好有兩天的日銷售量為1.5噸的概率;
(2)已知每噸該商品的銷售利潤為2千元, 表示該種商品某兩天銷售利潤的和(單位:千元),求的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b滿足f(1)=0,且在x=2時函數(shù)取得極值.
(1)求a,b的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,t](t>0)上的最大值g(t)的表達式.
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【題目】已知拋物線,直線交于兩點, 是的中點,過作軸的垂線交于點.
(1)證明:拋物線在點處的切線與平行;
(2)是否存在實數(shù),使以為直徑的圓經(jīng)過點?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】函數(shù)y=ax3﹣x2+cx(a≠0)的圖象如圖所示,它與x軸僅有兩個公共點O(0,0)與A(xA , 0)(xA>0);
(1)用反證法證明常數(shù)c≠0;
(2)如果 ,求函數(shù)的解析式.
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