已知函數(shù)
(I)若曲線f(x)在點(2,f(2))處的切線與直線2x+3y+1=0垂直,求a的值;
(II)討論函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性;
(III)當a=2時,關于x的方程f(x)=m有三個不同的實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】分析:(I)先求f(x)的定義域為{x|x>0},先對已知函數(shù)進行求導,由f'(2)=2-a-1+=,可求a;
(II)由f'(x)=x-a-1+=(x>0),通過比較1與2a的大小解不等式f'(x)>0,f'(x)<0,從而可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(III)把判斷方程f(x)=m何時有三個不同的實數(shù)根的問題,轉化為研究函數(shù)的零點問題,通過導數(shù)得到函數(shù)的極值,把函數(shù)的極值同m進行比較,得到結果.
解答:解:(I)由已知可知f(x)的定義域為{x|x>0}
f'(x)=x-a-1+(x>0)
根據(jù)題意可得,f'(2)=2-a-1+=
∴a=-1.
(II)∵f'(x)=x-a-1+=(x>0)
①當a>1時,由f′(x)>0可得x>a或0<x<1;
由f′(x)<0可得0<x<2a
∴f(x)在(2a,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,2a)上單調(diào)遞減
②當0<a<1時,由f′(x)>0可得x>1或0<x<a;
③當a=1時,在區(qū)間(0,+∞)上f′(x)≥0恒成立.
∴當a>1時,f(x)在(0,1),(a,+∞)上單調(diào)遞增,在(1,a)上單調(diào)遞減;
當0<a<1時,f(x)在(0,a),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(a,1)上單調(diào)遞減;
當a=1時,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
當a≤0時,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減.
(III)當a=2時,f(x)=
由(II)問知,f(x)在(0,1),(2,+∞)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減;
∴f(x)的極大值為f(1)=-,f(x)的極小值為f(2)=2ln2-4,
當m∈(2ln2-4,-),函數(shù)方程f(x)=m在(0,+∞)上有三個不同的實數(shù)根,
因此實數(shù)m的取值范圍是(2ln2-4,-).
點評:本題主要考查了導數(shù)的幾何意義的應用,函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的應用,及函數(shù)的極值與最值的求解的相互關系的應用,屬于函數(shù)知識的綜合應用.
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