Question

已知函數(shù)．
（I）若曲線f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與直線2x+3y+1=0垂直，求a的值；
（II）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（III）當(dāng)a=2時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=m有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，先對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，由f'（2）=2-a-1+=，可求a；
（II）由f'（x）=x-a-1+=（x＞0），通過(guò)比較1與2a的大小解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0，從而可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（III）把判斷方程f（x）=m何時(shí)有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的極值，把函數(shù)的極值同m進(jìn)行比較，得到結(jié)果．
解答：解：（I）由已知可知f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}
f'（x）=x-a-1+（x＞0）
根據(jù)題意可得，f'（2）=2-a-1+=，
∴a=-1．
（II）∵f'（x）=x-a-1+=（x＞0）
①當(dāng)a＞1時(shí)，由f′（x）＞0可得x＞a或0＜x＜1；
由f′（x）＜0可得0＜x＜2a
∴f（x）在（2a，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，2a）上單調(diào)遞減
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f′（x）＞0可得x＞1或0＜x＜a；
③當(dāng)a=1時(shí)，在區(qū)間（0，+∞）上f′（x）≥0恒成立．
∴當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（0，1），（a，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，a）上單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（0，a），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（a，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減．
（III）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=，
由（II）問(wèn)知，f（x）在（0，1），（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減；
∴f（x）的極大值為f（1）=-，f（x）的極小值為f（2）=2ln2-4，
當(dāng)m∈（2ln2-4，-），函數(shù)方程f（x）=m在（0，+∞）上有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是（2ln2-4，-）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，及函數(shù)的極值與最值的求解的相互關(guān)系的應(yīng)用，屬于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用．