Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE，PA=2，AD=4，二面角B-PC-D的正切值為（　�。�

• A、-

  3

  4

• B、-

  3

• C、-2

  3

• D、-

  4

  3

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-PC-D的正切值．

解答： 解：以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，
建立空間直角坐標系，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，
∵底面ABCD為矩形，∴底面ABCD為正方形，
∵PA=2，AD=4，∴B（4，0，0），C（4，4，0），
P（0，0，2），D（0，4，0），

PB

=(4，0，-2)，

PC

=(4，4，-2)，

PD

=(0，4，-2)，
設(shè)平面BPC的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • PB =4x-2z=0 n • PC =4x+4y-2z=0

，取x=1，得

n

=(1，0，2)，
設(shè)平面PCD的法向量

m

=(a，b，c)，
則

m • PC =4a+4b-2c=0 m • PD =4b-2c=0

，取b=1，得

m

=(0，1，2)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

4

5

，
設(shè)二面角B-PC-D的平面角為θ，
∵二面角B-PC-D的平面角為鈍角，∴cosθ=-

4

5

，
∴tanθ=-

3

4

．
∴二面角B-PC-D的正切值為-

3

4

．
故選：A．

點評：本題考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．