Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD=2，側(cè)面PAD是正三角形且與底面ABCD垂直，E是AB中點(diǎn)，PC與平面ABCD所成角為30？．
（1）證明：CD⊥平面PAD；
（2）求二面角P-CE-D的大小；
（3）求點(diǎn)D到平面PCE的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AD中點(diǎn)O，可以得出PO⊥面ABCD，∠PCO=30°，以O(shè)為原點(diǎn)，OD所在直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)得出證出后，可以證出CD⊥平面PAD
（2）分別求出平面PCE、平面DEC的一個(gè)法向量，利用兩法向量的夾角求出二面角P-CE-D的大小
（3）點(diǎn)D到平面PCE的距離等于 在方向上的投影的絕對(duì)值．
解答：解
（1）證明：取AD中點(diǎn)O．連接OP，∵△PAD為等邊三角形，
∴PO⊥AD，又面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，連接OC，則
∠PCO為PC與平面ABCD所成角，∠PCO=30°．AD=2，則OP=．OC=3，
∴DC=2．以O(shè)為原點(diǎn)，OD所在直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則O（0，0，0）
D（1，0，0），P（0，0，），C（1，，0），E（-1，，0）
∴=（1，0，0），=（0，0，），=（0，-，0），得出
∴又OD∩OP=O，
∴CD⊥平面PAD；
（2）由（1）得=（-1，，-），=（1，2，）
設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為=（x，y，z），則即
取 x=1，則得為=（1，-，-），又易知平面DEC的一個(gè)法向量為=（0，0，）
∴cos＜＞==．因?yàn)槎�面角P-CE-D是銳二面角，所以二面角P-CE-D的大小是45°．
（3）=（0，-，0），由（2）知平面PCE的一個(gè)法向量為=（1，-，-），
在方向上的投影為==，
∴點(diǎn)D到平面PCE的距離為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和平面垂直的判定，二面角、點(diǎn)面距的計(jì)算．利用空間向量的方法，思路相對(duì)固定，能降低思維難度，正確的應(yīng)用計(jì)算公式是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是有時(shí)不能夠準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)．