Question

6．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上遞減，若不等式2f（-ax+lnx+1）+f（ax-lnx-1）≥3f（l）對x∈[1，3]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [2，e]
• B． [$\frac{1}{e}$，+∞）
• C． [$\frac{1}{e}$，e]
• D． [$\frac{1}{e}$，$\frac{2+ln3}{3}$]

Answer 1

分析 由條件利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，可得0≤ax-lnx≤2對x∈[1，3]恒成立．即a≥$\frac{lnx}{x}$且a≤$\frac{2+lnx}{x}$對x∈[1，3]恒成立．求得相應(yīng)的最大值和最小值，從而求得a的范圍．

解答 解：∵定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上遞減，∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
若不等式2f（-ax+lnx+1）+f（ax-lnx-1）≥3f（l）對x∈[1，3]恒成立，
即f（ax-lnx-1）≥f（1）對x∈[1，3]恒成立．
∴-1≤ax-lnx-1≤1 對x∈[1，3]恒成立，
即0≤ax-lnx≤2對x∈[1，3]恒成立，
即a≥$\frac{lnx}{x}$且a≤$\frac{2+lnx}{x}$對x∈[1，3]恒成立．
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，則 g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，在[1，e）上遞增，（e，3]上遞減，∴g（x）_max=$\frac{1}{e}$．
令h（x）=$\frac{2+lnx}{x}$，h′（x）=$\frac{-1-lnx}{{x}^{2}}$＜0，在[1，3]上遞減，∴h（x）_min=$\frac{2+ln3}{3}$．
綜上所述，a∈[$\frac{1}{e}$，$\frac{2+ln3}{3}$]．
故選D．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．