Question

18．設(shè)F是拋物線C₁：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線與雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線的一個公共點(diǎn)，且AF⊥x軸，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義得到 $\frac{pb}{2a}$=$\frac{p}{2}$+$\frac{p}{2}$，利用離心率的定義求得雙曲線的離心率．

解答 解：由題意得 F（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線為 x=-$\frac{p}{2}$，設(shè)雙曲線的一條漸近線為 y=$\frac{a}$x，則點(diǎn)A（ $\frac{p}{2}$，$\frac{pb}{2a}$），
由拋物線的定義得|PF|等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離，即$\frac{pb}{2a}$=$\frac{p}{2}$+$\frac{p}{2}$，
∴$\frac{2a}$=1，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
故選A．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義和雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線、拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，利用拋物線的定義得到$\frac{pb}{2a}$=$\frac{p}{2}$+$\frac{p}{2}$，是解題的關(guān)鍵．