Question

某廠家擬在2014年舉行的促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用m萬(wàn)元（m≥0）滿足x=3-

k

m+1

（k為常數(shù)）．如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬(wàn)件，已知2014年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）．
（1）求k的值，并求年促銷費(fèi)用為9萬(wàn)元時(shí)，該廠的年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件？
（2）將2014年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）表示為年促銷費(fèi)用m（萬(wàn)元）的函數(shù)；
（3）該廠家2014年的促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？并求出最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題

分析：（1）利用不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬(wàn)件，可求k的值，從而可求年促銷費(fèi)用為9萬(wàn)元時(shí)，該廠的年產(chǎn)量；
（2）確定每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格，結(jié)合廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍，即可求得函數(shù)解析式；
（3）利用基本不等式，即可求得最值．

解答： 解：（1）由題意，不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬(wàn)件，知m=0時(shí)，x=1（萬(wàn)件），
∴1=3-k，得k=2，
從而x=3-

2

m+1

，當(dāng)m=9萬(wàn)元時(shí)，x=2.8，
綜上得，k=2，年促銷費(fèi)用為9萬(wàn)元時(shí)，該廠的年產(chǎn)量為2.8萬(wàn)件；
（2）由（1）知，x=3-

2

m+1

，又每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×

8+16x

x

元，
∴2014年的利潤(rùn)為y=1.5×

8+16x

x

×x-（8+16x+m）=4+8x-m=28-

16

m+1

-m（m≥0）；
（3）由（2）得，y=28-

16

m+1

-m=29-[

16

m+1

+（m+1）]，
∵m≥0時(shí)，

16

m+1

+（m+1）≥2

16

=8，
∴y≤29-8=21，
當(dāng)且僅當(dāng)

16

m+1

=m+1，即m=3（萬(wàn)元）時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，y_max=21（萬(wàn)元）．
答：該廠家2012年的促銷費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大，最大值為21萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類型，考查基本不等式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)解析式．