Question

點(diǎn)P為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）在第一象限的弧上任意一點(diǎn)，過(guò)P引x軸，y軸的平行線，分別交直線y=-

b

a

x于Q、R，交y軸、x軸于M、N兩點(diǎn)，記△OMQ與△ONR的面積分別為S₁，S₂，當(dāng)ab=2時(shí)，S₁²+S₂²的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，m），（n＞0，m＞0），由題意分別表示出Q、R，M、N的坐標(biāo)，再求出S₁，S₂的面積，再根據(jù)點(diǎn)P再橢圓上，利用基本不等式求得mn≤1，
再利用基本不等式求出S₁²+S₂²≥2S₁•S₂≥

1

2

，問(wèn)題得以解決

解答： 解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，m），（n＞0，m＞0）
∵過(guò)P引x軸，y軸的平行線，分別交直線y=-

b

a

x于Q、R，交y軸、x軸于M、N兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-

am

b

，m），點(diǎn)R的坐標(biāo)為（n，-

bn

a

），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，m），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0），
∴|NR|=

bn

a

，|ON|=n，|MQ|=

am

b

，|OM|=m，
∴S₁=S_△OMQ=

1

2

×m×

am

b

=

am2

2b

，S₂=S_△ONR=

1

2

×n×

bn

a

=

bn2

2a

，
∴S₁•S₂=

m2n2

4

，
∵P點(diǎn)在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上，
∴

n2

a2

+

m2

b2

=1，
∴1=

n2

a2

+

m2

b2

≥2•

nm

ab

=mn，
即mn≤1，
∴S₁²+S₂²≥2S₁•S₂=

m2n2

2

≥

1

2

，
故S₁²+S₂²的最小值為

1

2

故答案為：

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的有關(guān)知識(shí)，以及基本不等式的應(yīng)用，培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，運(yùn)算能力，屬于中檔題．