Question

設(shè)n∈N^*，則6C_n¹+6²C_n²+…+6ⁿC_nⁿ除以8的余數(shù)是（　　）

• A、-2
• B、2
• C、0
• D、0或6

Answer 1

分析：由組合數(shù)的性質(zhì)知6C_n¹+6²C_n²+…+6ⁿC_nⁿ=（6+1）ⁿ-1=（8-1）ⁿ-1，按照二項(xiàng)式定理展開，對n是奇數(shù)還是偶數(shù)分類討論，即可求出結(jié)果．

解答：解：∵（6+1）ⁿ=1+6C_n¹+6²C_n²+…+6ⁿC_nⁿ，則6C_n¹+6²C_n²+…+6ⁿC_nⁿ=（6+1）ⁿ-1=7ⁿ-1=（8-1）ⁿ-1，
按照二項(xiàng)式定理展開可得，
（8-1）ⁿ=

C

0 n

8n(-1)0

+C

1 n

8n-1(-1)1+…+

C

n n

80(-1)n，
∵前n項(xiàng)中均有8的倍數(shù)，故均能被8整除，
∴最后一項(xiàng)為

C

n n

80(-1)n=（-1）ⁿ，
∴（8-1）ⁿ-1的最后兩項(xiàng)為（-1）ⁿ-1，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，最后兩項(xiàng)為-1-1=-2除以8的余數(shù)為6，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，最后兩項(xiàng)為1-1=0除以8的余數(shù)為0，
∴6C_n¹+6²C_n²+…+6ⁿC_nⁿ除以8的余數(shù)是0或6．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)二項(xiàng)式定理，靈活將6C_n¹+6²C_n²+…+6ⁿC_nⁿ變形，對于選擇題，有時(shí)候取特殊值是簡便易行的方法．考查了學(xué)生對二項(xiàng)式定理的靈活應(yīng)用和二項(xiàng)式定理的應(yīng)用：整除問題，考查利用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力．主要檢測學(xué)生的應(yīng)變能力和對定理掌握的熟練程度．屬于中檔題．