Question

13、設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1-1=ca_n-c，n∈N^*，其中a、c為實(shí)數(shù)，且c≠0則a_n=

a_n=（ a-1）c^n-1+1 （n∈N^*）

．

Answer 1

分析：先把數(shù)列的遞推式整理成$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}+1}$的形式，利用等比數(shù)列的定義判斷出{a_n-1}是首項(xiàng)為a-1，公比為c的等比數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得a_n．

解答：解：因?yàn)閍_n+1-1=c（a_n-1）
所以當(dāng)a≠1時(shí)，{a_n-1}是首項(xiàng)為a-1，公比為c的等比數(shù)列
所以a_n-1=（ a_n-1）c^n-1
即a_n=（ a_n-1）c^n-1+1
當(dāng)n=1時(shí)，a_n=1仍滿足上式
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=（ a-1）c^n-1+1 （n∈N^*）
故答案為：a_n=（ a-1）c^n-1+1 （n∈N^*）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推式．對(duì)于a_n+1=pa_n+q的遞推式求通項(xiàng)公式一般是待定系數(shù)法，把原遞推公式轉(zhuǎn)化為a_n+1-t=p（a_n-t），其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解，或轉(zhuǎn)化為二隊(duì)循環(huán)數(shù)列來解或直接用逐項(xiàng)迭代法求解．