Question

2．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n=a_n-1+2n（n∈N^*，n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得a_n-a_n-1=2n，由此利用累加法能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由a_n=n（n+1），得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n=a_n-1+2n（n∈N^*，n≥2），
∴a_n-a_n-1=2n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=a₁+a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1
=2+4+6+…+2n
=$\frac{n（2+2n）}{2}$
=n（n+1），
當(dāng)n=1時(shí)，上式成立，
∴a_n=n（n+1）．
（2）∵a_n=n（n+1），∴$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和：
S_n=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意累加法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．