Question

13．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$，x∈（-∞，0）
（1）判斷f（x）=x+$\frac{4}{x}$在區(qū)間[-2，0）上的單調性，并加以證明；
（2）若函數(shù)h（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+4}{x}$在x∈[-2，-1]上有h（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 （1）利用定義法判斷函數(shù)單調性：設任意的x₁，x₂∈[-2，0），且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{（4-{x}_{1}{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$（x₂-x₁）≥0，得出結論；
（2）把不等式整理為h（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+4}{x}$=x-a+$\frac{4}{x}$≥0恒成立，轉換為最值問題，進而求出a的范圍．

解答 函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$在區(qū)間[-2，0）上的單調遞減．
證明：（1）設任意的x₁，x₂∈[-2，0），且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{（4-{x}_{1}{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$（x₂-x₁）≥0
∴函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$在區(qū)間[-2，0）上的單調遞減；
（2）h（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+4}{x}$=x-a+$\frac{4}{x}$≥0恒成立，
∴x+$\frac{4}{x}$≥a恒成立，
由（1）知，f（x）=x+$\frac{4}{x}$在區(qū)間[-2，0）上的單調遞減．
∴f（x）=x+$\frac{4}{x}$≥f（-1）=-5
∴a≤-5．

點評 考查了函數(shù)單調性的判斷方法和恒成立問題的轉換．屬于�？碱}型，應熟練掌握．