Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|，（a∈R）
（1）若a=2，解關(guān)于x的不等式f（x）＜x；
（2）若對(duì)?x∈（0，1]都有f（x）＜m（m∈R，m是常數(shù)），求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，不等式即x|x-2|＜x，分類(lèi)討論求得它的解集．
（2）顯然m＞0，對(duì)?x∈（0，1]，x-

m

x

＜a＜x+

m

x

．設(shè)g(x)=x-

m

x

，x∈(0，1]，p(x)=x+

m

x

，x∈（0，1]，條件等價(jià)于g（x）_max＜a＜p（x）_min，x∈（0，1]．再利用導(dǎo)數(shù)求得g（x）_max和p（x）_min，可得a的范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，不等式f（x）＜x，即x|x-2|＜x，
顯然x≠0，當(dāng)x＞0時(shí)，原不等式可化為：|x-2|＜1⇒-1＜x-2＜1⇒1＜x＜3．
當(dāng)x＜0時(shí)，原不等式可化為：|x-2|＞1⇒x-2＞1或x-2＜-1⇒x＞3或x＜1，∴x＜0．
綜上得：當(dāng)a=2時(shí)，原不等式的解集為{x|1＜x＜3或x＜0}．
（2）∵對(duì)?x∈（0，1]都有f（x）＜m，顯然m＞0，
即-m＜x（x-a）＜m⇒對(duì)?x∈（0，1]，-

m

x

＜x-a＜

m

x

恒成立，
⇒對(duì)?x∈（0，1]，x-

m

x

＜a＜x+

m

x

．
設(shè)g(x)=x-

m

x

，x∈(0，1]，p(x)=x+

m

x

，x∈（0，1]，
則對(duì)?x∈（0，1]，x-

m

x

＜a＜x+

m

x

恒成立?g（x）_max＜a＜p（x）_min，x∈（0，1]．
∵g′(x)=1+

m

x2

，當(dāng)x∈（0，1]時(shí)g'（x）＞0，∴函數(shù)g（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，∴g（x）_max=1-m．
又∵p′(x)=1-

m

x2

=

(x- m )(x+ m )

x2

，當(dāng)

m

≥1即m≥1時(shí)，對(duì)于x∈（0，1]，p'（x）＜0，
∴函數(shù)p（x）在（0，1]上為減函數(shù)，∴p（x）_min=p（1）=1+m．
當(dāng)

m

＜1，即0＜m＜1時(shí)，當(dāng)x∈(0，

m

]，p'（x）≤0，
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，在（0，1]上，p(x)=x+

m

x

≥2

x• m x

=2

m

，當(dāng)x=

m

時(shí)取等號(hào)，
又∵當(dāng)0＜m＜1時(shí)，要g（x）_max＜a＜p（x）_min，即 1-m＜a＜2

m

，還需滿(mǎn)足2

m

＞1-m解得3-2

2

＜m＜1．
∴當(dāng)3-2

2

＜m＜1時(shí)，1-m＜a＜2

m

；當(dāng)m≥1時(shí)，1-m＜a＜1+m．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求函數(shù)的值域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．