Question

給出下列命題：
①設(shè)f（x）是定義在（-a，a）（a＞0）上的偶函數(shù)，且f′（0）存在，則f′（0）=0．
②設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)f（x）•f（-x）的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)．
③方程xe^x=2在區(qū)間（0，1）內(nèi)有且僅有一個實(shí)數(shù)根．
其中為真命題的是（　�。�

• A、①②③
• B、①②
• C、②③
• D、①③

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：由f（x）是定義在（-a，a）（a＞0）上的偶函數(shù)，證得其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)得①正確；
由函數(shù)f（x）•f（-x）是偶函數(shù)，可知其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，說明②錯誤；
把方程xe^x=2化為兩個函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=

2

x

，由f（x）在（0，1）內(nèi)為增函數(shù)，g（x）在（0，1）內(nèi)為減函數(shù)，且f（1）=e＞2=g（1）可知兩函數(shù)在（0，1）內(nèi)僅有一個交點(diǎn)，說明③正確．

解答： 解：①設(shè)f（x）是定義在（-a，a）（a＞0）上的偶函數(shù)，則f（x）=f（-x），
設(shè)其導(dǎo)函數(shù)為g（x），
則g（x）=

lim

△x→0

f(x+△x)-f(x)

△x

，g(-x)=

lim

△x→0

f(-x+△x)-f(-x)

△x

=

lim

△x→0

-

f(x-△x)-f(x)

-△x

=-g（x），
∴f（x）的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，又f′（0）存在，則f′（0）=0．①正確；
②設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）•f（-x）是偶函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，②錯誤；
③方程xe^x=2化為ex=

2

x

，設(shè)兩函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=

2

x

，
∵f（1）=e＞2=g（1），
∴在區(qū)間（0，1）內(nèi)兩函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=

2

x

有且僅有一個交點(diǎn)，即方程xe^x=2在區(qū)間（0，1）內(nèi)有且僅有一個實(shí)數(shù)根，③正確．
∴正確的命題是①③．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了可導(dǎo)函數(shù)奇偶性的判斷，訓(xùn)練了函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，是中檔題．