Question

5．已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1-a_n=3ⁿ+2n+1求數列的通項公式．

Answer 1

分析 由遞推式利用累加法即可求得a_n，注意檢驗n=1時的情形．

解答 解：由題意可得a₂-a₁=3+2+1，
a₃-a₂=3²+2×2+1，
a₄-a₃=3³+2×3+1，
…
a_n-a_n-1=3^n-1+2（n-1）+1，
以上n-1個式子相加可得a_n-a₁=（3¹+3²+…+3^n-1）+2（1+2+3+…+n-1）+（n-1）×1，
=$\frac{3×（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$+2×$\frac{（n-1）（1+n-1）}{2}$+（n-1）=$\frac{1}{2}$×3ⁿ-$\frac{3}{2}$+n（n-1）+（n-1）=$\frac{1}{2}$×3ⁿ+n²-$\frac{5}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{2}$×3ⁿ+n²-$\frac{3}{2}$，
當n=1時成立，
故a_n=$\frac{1}{2}$×3ⁿ+n²-$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查由數列遞推式求數列通項，累加法是求數列通項的常用方法，要熟練掌握，注意其使用特征．