Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=

-2x+b

2x+1+2

是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）證明函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=0，解方程可求得b，注意檢驗(yàn)；
（Ⅱ）利用減函數(shù)的定義可證明；

解答：（Ⅰ）解：∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f(0)=

1-b

4

=0?b=1（經(jīng)檢驗(yàn)符合題設(shè)）；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知f(x)=-

2x-1

2(2x+1)

．
對(duì)?x₁，x₂∈R，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，總有2x2- 2x1＞0，  (2x1+1)(2x2+1)＞0．
∴f(x1)-f(x2)=-

1

2

•(

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

)=

1

2

•

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)及單調(diào)性的證明，屬基礎(chǔ)題，證明單調(diào)性的常用方法：一是定義法，二是導(dǎo)數(shù)法．