Question

12．若（ax+2b）⁶的展開式中x²與x³的系數之比為3：4，其中a＞0，b≠0
（1）當a=1時，求（ax+2b）⁶的展開式中二項式系數最大的項；
（2）令$F（a，b）=\frac{{{b^3}+16}}{a}$，求F（a，b）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用通項公式求得含x²的項和含x³的項，再根據展開式中x²與x³的系數之比為3：4，求得a=2b，再結合a=1求得展開式中二項式系數最大的項．
（2）利用導數求得F（b）的單調區(qū)間，再利用函數的單調性求得F（a，b）的最小值．

解答 解：（1）展開式中含x²的項為：240a²b⁴x²；展開式中含x³的項為：160a³b³x³，
結合題意可得：$\frac{{240{a^2}{b^4}}}{{160{a^3}{b^3}}}=\frac{3b}{2a}=\frac{3}{4}，a=2b$ 
當a=1時，（ax+2b）⁶的展開式中二項式系數最大的項為${T_4}=C_6^3{x^3}=20{x^3}$．
（2）由a=2b，$F（b）=\frac{{{b^3}+16}}{2b}=\frac{b^2}{2}+\frac{8}$，∴${F^'}（b）=b-\frac{8}{b^2}$．
當b∈（0，2）時，F′（b）＜0； 當b∈（2，+∞）時，F′（b）＞0，
所以  $F（b）=\frac{{{b^3}+16}}{2b}=\frac{b^2}{2}+\frac{8}$在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
得F（a，b）的最小值為F_min=F（2）=6，此時a=4，b=2．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，利用導數研究函數的單調性，由函數的單調性求函數的最值，屬于中檔題．