Question

8．求函數(shù)y=2sin（3x+$\frac{π}{3}$）的周期、單調(diào)區(qū)間、最大值與最小值，并分別寫(xiě)出取到最大值與最小值時(shí)自變量x的集合．

Answer 1

分析 直接由周期公式求得函數(shù)的周期；利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；直接寫(xiě)出函數(shù)的最值，由相位終邊的位置求得函數(shù)取到最大值與最小值時(shí)自變量x的集合．

解答 解：函數(shù)y=2sin（3x+$\frac{π}{3}$）的周期T=$\frac{2π}{3}$；
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤3x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{5π}{18}+\frac{2}{3}kπ≤x≤\frac{π}{18}+\frac{2}{3}kπ，k∈Z$．
∴函數(shù)y=2sin（3x+$\frac{π}{3}$）的增區(qū)間為[$-\frac{5π}{18}+\frac{2}{3}kπ，\frac{π}{18}+\frac{2}{3}kπ$]，k∈Z；
由$\frac{π}{2}+2kπ≤3x+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，得$\frac{π}{18}+\frac{2}{3}kπ≤x≤\frac{7π}{18}+\frac{2}{3}kπ，k∈Z$．
∴函數(shù)y=2sin（3x+$\frac{π}{3}$）的減區(qū)間為[$\frac{π}{18}+\frac{2}{3}kπ，\frac{7π}{18}+\frac{2}{3}kπ$]，k∈Z；
函數(shù)y=2sin（3x+$\frac{π}{3}$）的最大值為2，最小值為-2．
由3x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，得$x=\frac{π}{18}+\frac{2}{3}kπ，k∈Z$，
∴使函數(shù)取得最大值的x的集合為{x|$x=\frac{π}{18}+\frac{2}{3}kπ，k∈Z$}；
由3x+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，得$x=-\frac{5π}{18}+\frac{2}{3}kπ，k∈Z$，
∴使函數(shù)取得最小值的x的集合為{x|$x=-\frac{5π}{18}+\frac{2}{3}kπ，k∈Z$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的記憶與掌握，是基礎(chǔ)題．