Question

3．已知|tanx|=2，x∈（$\frac{π}{2}$，π）．
（1）求tan2x的值；
（2）求sin（x+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用x的范圍可知tanx＜0，去絕對值可得tanx的值，利用二倍角的正切函數(shù)公式即可計算得解．
（2）利用x的范圍及tanx的值，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式可求cosx，sinx的值，利用兩角和的正弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值即可計算得解．

解答 （本題滿分為14分）
解：（1）∵x∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴tanx＜0，
∵|tanx|=2，
∴tanx=-2或2（舍去），
∴tan2x=$\frac{2tanx}{1-ta{n}^{2}x}$=$\frac{2×（-2）}{1-（-2）^{2}}$=$\frac{4}{3}$…（7分）
（2）∵x∈（$\frac{π}{2}$，π），tanx=-2，
∴cosx=-$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}x}}$=-$\sqrt{\frac{1}{1+（-2）^{2}}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinx=$\sqrt{1-co{s}^{2}x}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinx+cosx）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）=$\frac{\sqrt{10}}{10}$…（14分）

點評 本題主要考查了二倍角的正切函數(shù)公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式，兩角和的正弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．