Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=n（n十1）²，是否存在等差數(shù)列{b_n}，使a_n=1•b₁+2•b₂+…+n•b_n對一切正整數(shù)n都成立？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 假設(shè)存在等差數(shù)列{b_n}，使a_n=1•b₁+2•b₂+…+n•b_n對一切正整數(shù)n都成立．當(dāng)n=1，2，3時，a₁=4=b₁；a₂=18=b₁+2b₂；a₃=48=1•b₁+2•b₂+3b₃．
聯(lián)立解得b₁=4，b₂=7，b₃=10．可得b_n=3n+1．nb_n=3n²+n．代入驗證即可．

解答 解：假設(shè)存在等差數(shù)列{b_n}，使a_n=1•b₁+2•b₂+…+n•b_n對一切正整數(shù)n都成立．
當(dāng)n=1，2，3時，a₁=4=b₁；a₂=18=b₁+2b₂；a₃=48=1•b₁+2•b₂+3b₃．
聯(lián)立解得b₁=4，b₂=7，b₃=10．
∴公差d=7-4=3，
∴b_n=4+3（n-1）=3n+1．
∴nb_n=3n²+n．
驗證：1•b₁+2•b₂+…+n•b_n=3×（1²+2²+…+n²）+$\frac{n（n+1）}{2}$=$3×\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$+$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1）²=a_n．
∴存在等差數(shù)列{b_n}，其通項公式為b_n=3n+1，使a_n=1•b₁+2•b₂+…+n•b_n對一切正整數(shù)n都成立．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．