Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的圖象經過原點，f′（1）=0若f（x）在x=-1取得極大值2．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）若對任意的x∈[-2，4]，都有f（x）≥f′（x）+6x+m，求m的最大值．

Answer 1

分析：（1）本題是據題意求參數的題，題目中x=-1時有極大值2，且f′（1）=0，函數圖象過原點，可轉化出4個等式，利用其建立方程求解即可得函數y=f（x）的解析式．
（2）對任意的x∈[-2，4]，都有f（x）≥f′（x）+6x+m，可知當x∈[-2，4]時恒有f（x）≥f′（x）+6x+m，將問題轉化為m≤f（x）-f′（x）-6x恒成立，再利用常數分離法進行求解．

解答：解：（1）∵f′（x）=3ax²+2bx+c（a≠0），
∵x=-1時有極大值2，∴f′（-1）=3a-2b+c=0     ①
又f（0）=d=0     ②
f′（1）=3a+2b+c=0      ③
f（-1）=-a+b-c=2      ④
①②③④聯(lián)立得  a=1，b=0，c=-3，d=0．
故函數f（x）=x³-3x²．
（2）∵f（x）≥f′（x）+6x+m，
∴m≤f（x）-f′（x）-6x，令g（x）=f（x）-f′（x）-6x=x³-3x²-9x+3，∴g′（x）=3x²-6x-9，
令g′（x）=0，得x=-1或x=3，
∴g（x）在[-2，-1]內單調遞增，在[-1，3]內單調遞減，在[3，4]內單調遞增，
∴g（x）_min=g（3）=-24；
∴m≤-24，即m_max=-24．

點評：本小題考點是導數的運用，考查導數與極值的關系，本題的特點是用導數一極值的關建立方程求參數---求函數的表達式．