Question

已知函數(shù)f（x）=xlg（x+

1+x2

）且f（2-a）＜f（-1），則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先求出函數(shù)的定義域，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和分子有理化化簡(jiǎn)f（-x），判斷出函數(shù)的奇偶性，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出此函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)、單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式，最后求出a的范圍．

解答： 解：由題意得，函數(shù)f（x）的定義域是R，
且f（-x）=-xlg（-x+

1+x2

）=-xlg

1

x+ 1+x2

=xlg（x+

1+x2

）=f（x），
所以函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，
所以當(dāng) x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）是減函數(shù)，
由f（2-a）＜f（-1）得，|2-a|＜|-1|=1
即-1＜2-a＜1，解得1＜a＜3，
所以a的取值范圍是（1，3），
故答案為：（1，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題．