Question

【題目】如圖1，在高為2的梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝5，過(guò)A，B分別作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分別為E，F.已知DE＝1，將梯形ABCD沿AE，BF同側(cè)折起，得空間幾何體ADEBCF，如圖2.若DE∥CF，CD＝，在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使得CP與平面ACD所成角的正弦值為？并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】存在；詳見解析

【解析】

由已知可得AE⊥平面DEFC，在梯形中，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可得，建立空間直角坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面ACD的法向量坐標(biāo)，設(shè)，將坐標(biāo)用表示，根據(jù)線面角公式結(jié)合已知，即可求解.

當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時(shí)滿足條件.理由如下：

∵AE⊥DE，AE⊥EF，DE∩EF＝E，∴AE⊥平面DEFC.

取中點(diǎn)，連，

四邊形為平行四邊形，，

如圖，過(guò)E作EG⊥EF交DC于點(diǎn)G，

可知GE，EA，EF兩兩垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，

以分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，1，），

D，，

設(shè)平面ACD的法向量為＝（x，y，z），

則，即，

令x＝1，得.

設(shè)，

則，λ∈（0，＋∞），

可得.

設(shè)CP與平面ACD所成的角為θ，

則，

整理得，解得λ＝1或λ＝（舍去），

∴P為AB的中點(diǎn)時(shí)，滿足條件.