【題目】已知三棱錐的棱長(zhǎng)均為6，其內(nèi)有個(gè)小球，球與三棱錐的四個(gè)面都相切，球與三棱錐的三個(gè)面和球都相切，如此類推，…，球與三棱錐的三個(gè)面和球都相切（，且），則球的體積等于__________，球的表面積等于__________.

【答案】

【解析】

由正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的可求得的半徑，得其體積，把底面向上平移，平移到與內(nèi)切球相切，這個(gè)平面以上的部分仍然是正四面體，而第二個(gè)球就是這個(gè)正四面體的內(nèi)切球，此球半徑是第一個(gè)球半徑的一半，依次類推可得第個(gè)球．

如圖，是三棱錐的高，是的外心，設(shè)，則，，

是三棱錐的外接球和內(nèi)切球的球心，在上，

設(shè)外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，則由得，，所以，

，

，

過(guò)中點(diǎn)作與底面平行的平面與三條棱交于點(diǎn)，則平面與球相切，由題意球是三棱錐的內(nèi)切球，注意到三棱錐的棱長(zhǎng)是三棱錐棱長(zhǎng)的，所以有其內(nèi)切球半徑，同理球的半徑為，則是僅比為的等比數(shù)列，所以，即，

．

故答案為：；．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1是菱形，且CA＝CB1．

（1）證明：面CBA1⊥面CB1A；

（2）若∠BAA1＝60°，A1C＝BC＝BA1，求二面角C﹣A1B1﹣C1的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時(shí)期，我市教育局提出“停課不停學(xué)”的口號(hào)，鼓勵(lì)學(xué)生線上學(xué)習(xí).某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與線上學(xué)習(xí)時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，對(duì)高三年級(jí)隨機(jī)選取45名學(xué)生進(jìn)行跟蹤問(wèn)卷，其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間不少于5小時(shí)的有19人，余下的人中，在檢測(cè)考試中數(shù)學(xué)平均成績(jī)不足120分的占，統(tǒng)計(jì)成績(jī)后得到如下列聯(lián)表：

分?jǐn)?shù)不少于120分

分?jǐn)?shù)不足120分

合計(jì)

線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)

4

19

線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)

合計(jì)

45

（1）請(qǐng)完成上面列聯(lián)表；并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”；

（2）①按照分層抽樣的方法，在上述樣本中從分?jǐn)?shù)不少于120分和分?jǐn)?shù)不足120分的兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生，設(shè)抽到不足120分且每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)的人數(shù)是，求的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；

②若將頻率視為概率，從全校高三該次檢測(cè)數(shù)學(xué)成績(jī)不少于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人，求這些人中每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)的人數(shù)的期望和方差.

（下面的臨界值表供參考）

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式其中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的焦距為2，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過(guò)橢圓左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸非負(fù)半軸上，且點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2，求取得最大值時(shí)的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意，都有（為常數(shù)）．

（1）當(dāng)時(shí)，求；

（2）當(dāng)時(shí)，

（�。┣笞C：數(shù)列是等差數(shù)列；

（ⅱ）若對(duì)任意，必存在使得，已知，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知某企業(yè)近3年的前7個(gè)月的月利潤(rùn)（單位：百萬(wàn)元）如下面的折線圖所示：

（1）試問(wèn)這3年的前7個(gè)月中哪個(gè)月的月平均利潤(rùn)最高？

（2）通過(guò)計(jì)算判斷這3年的前7個(gè)月的總利潤(rùn)的發(fā)展趨勢(shì)；

（3）試以第3年的前4個(gè)月的數(shù)據(jù)（如下表），用線性回歸的擬合模式估測(cè)第3年8月份的利潤(rùn)．

月份x

1

2

3

4

利潤(rùn)y（單位：百萬(wàn)元）

4

4

6

6

相關(guān)公式： ， ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】多面體歐拉定理是指對(duì)于簡(jiǎn)單多面體，其各維對(duì)象數(shù)總滿足一定的數(shù)量關(guān)系，在三維空間中，多面體歐拉定理可表示為：頂點(diǎn)數(shù)＋表面數(shù)－棱長(zhǎng)數(shù)＝2.在數(shù)學(xué)上，富勒烯的結(jié)構(gòu)都是以正五邊形和正六邊形面組成的凸多面體，例如富勒烯（結(jié)構(gòu)圖如圖）是單純用碳原子組成的穩(wěn)定分子，具有60個(gè)頂點(diǎn)和32個(gè)面，其中12個(gè)為正五邊形，20個(gè)為正六邊形.除外具有封閉籠狀結(jié)構(gòu)的富勒烯還可能有，，，，，，，等，則結(jié)構(gòu)含有正六邊形的個(gè)數(shù)為（ ）

A.12B.24C.30D.32

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)，（）在曲線C：上，直線l過(guò)點(diǎn)且與垂直，垂足為P．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求在直角坐標(biāo)系下點(diǎn)P坐標(biāo)和l的方程；

（Ⅱ）當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段上時(shí)，求點(diǎn)P在極坐標(biāo)系下的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】(2017·衢州調(diào)研)已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC＝120°，AD的中點(diǎn)M是頂點(diǎn)P在底面ABCD的射影，N是PC的中點(diǎn).

(1)求證：平面MPB⊥平面PBC；

(2)若MP＝MC，求直線BN與平面PMC所成角的正弦值.

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