Question

1．已知O是銳角△ABC的外接圓圓心，∠A=30°，$\frac{cosB}{sinC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$•$\overrightarrow{AC}$=2m•$\overrightarrow{AO}$，則m的值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 1
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量的三角形法則結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可．

解答 解：∵$\frac{cosB}{sinC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$•$\overrightarrow{AC}$=2m•$\overrightarrow{AO}$，
∴$\frac{cosB}{sinC}$•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）+$\frac{cosC}{sinB}$•（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）=2m•$\overrightarrow{AO}$，
即$\frac{cosB}{sinC}$•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）•$\overrightarrow{OA}$+$\frac{cosC}{sinB}$•（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）•$\overrightarrow{OA}$=2m•$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{OA}$，
則$\frac{cosB}{sinC}$•（$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OA}$）+$\frac{cosC}{sinB}$•（$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OA}$）=2m•$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AO}$，
即$\frac{cosB}{sinC}$•|$\overrightarrow{OA}$|²（cos2C-1）+$\frac{cosC}{sinB}$•|$\overrightarrow{OA}$|²（cos2B-1）=-2m|$\overrightarrow{OA}$|²，
即$\frac{cosB}{sinC}$•（cos2C-1）+$\frac{cosC}{sinB}$•（cos2B-1）=-2m，
則-2cosBsinC-2cosCsinB=-2m，
即-2sin（B+C）=-2m，
則m=sin（B+C）=sinA=sin30°=$\frac{1}{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算以及向量三角形法則的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．