Question

6．設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a≠0，命題q：實(shí)數(shù)x滿足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6≤0}\\{{x}^{2}+2x-8＞0}\end{array}\right.$，
（1）若a=1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由x²-4ax+3a²＜0，得（x-3a）（x-a）＜0，p為真時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍是1＜x＜3，q為真時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍是2＜x≤3，p∧q為真，則p真且q真，由此能求出實(shí)數(shù)x的取值范圍．
（2）p是q的必要不充分條件，設(shè)A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，則A?B，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由x²-4ax+3a²＜0，得（x-3a）（x-a）＜0，
當(dāng)a=1時(shí)，解得1＜x＜3，即p為真時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍是1＜x＜3，…（1分）
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6≤0}\\{{x}^{2}+2x-8＞0}\end{array}\right.$，得2＜x≤3，即q為真時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍是2＜x≤3，…（3分）
若p∧q為真，則p真且q真，…（4分）
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是（2，3）．…（5分）
（2）p是q的必要不充分條件，即q⇒p，且p推不出q，
設(shè)A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，則A?B，…（7分）
又B=（2，3]，當(dāng)a＞0時(shí)，A=（a，3a）；a＜0時(shí)，A=（3a，a），
∴當(dāng)a＞0時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3＜3a}\end{array}\right.$，解得1＜a≤2；…（9分）
當(dāng)a＜0時(shí)，A∩B=∅，不合題意；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，2]．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 復(fù)合命題p∧q的真假由命題p，q共同決定，當(dāng)兩命題中有一個(gè)是真命題時(shí)復(fù)合后為真命題，由若p是q的必要不充分條件可得集合p是集合q的真子集．