Question

（2013•�？诙�模）已知函數(shù)f（x）=e^x-kx，x∈R，k為常數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）當k=e時，證明f（x）≥0恒成立；
（Ⅱ）若k＞0，且對于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，試確定實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，要確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，先求出函數(shù)的導函數(shù)，令其大于零求出函數(shù)的增區(qū)間；令其小于零求出函數(shù)的減區(qū)間，從而得出函數(shù)有最小值即可證得結(jié)論；
（II）判斷得出f（|x|）是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對稱．f（|x|）＞0成立等價于f（x）＞0對任意x≥0成立，由f'（x）=e^x-k得x=lnk，討論k的單調(diào)區(qū)間保證f（x）＞0對任意x≥0成立，最后確定出k的范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）由k=e得f（x）=e^x-ex，所以f'（x）=e^x-e．
由f'（x）＞0得x＞1，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）
由f'（x）＜0得x＜1，故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，1）．
所以函數(shù)有最小值f（1）=e-e=0，所以f（x）≥0恒成立．
（Ⅱ）由f（|-x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函數(shù)．
于是f（|x|）＞0對任意x∈R成立等價于f（x）＞0對任意x≥0成立．
由f'（x）=e^x-k=0得x=lnk．
①當k∈（0，1]時，f'（x）=e^x-k＞1-k≥0．
此時f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
故f（x）≥f（0）=1＞0，符合題意．
②當k∈（1，+∞）時，lnk＞0．
當x變化時f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，lnk）	lnk	（lnk，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k-klnk．
依題意，k-klnk＞0，又k＞1，故1＜k＜e．
綜合①，②得，實數(shù)k的取值范圍是（0，e）．

點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力．利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力，函數(shù)恒成立的條件．