已知向量
a
=（1-tanx，1），
b
=（1+sin2x+cos2x，0），記f（x）=
a
•
b
．
（1）求f（x）的解析式并指出它的定義域；
（2）若f(α+
π
8
)=
2
5
，且α∈(0，
π
2
)，求f（α）．
分析：（1）利用向量
a
=（1-tanx，1），
b
=（1+sin2x+cos2x，0），求出f（x）=
a
•
b
，化簡為一個角的一個三角函數(shù)的形式，就是f（x）的解析式，指出它的定義域；
（2）利用f(α+
π
8
)=
2
5
，代入函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)α∈(0，
π
2
)，求出sin(2α+
π
4
)=
7
2
10
，然后求f（α）．
解答：解：（1）∵
a
=（1-tanx，1），
b
=（1+sin2x+cos2x，0），
∴f（x）=
a
•
b
=（1-tanx）（1+sin2x+cos2x）（2分）
=
cosx-sinx
cosx
•(2cos2x+2sinxcosx)=2（cos2x-sin2x）=2cos2x．（4分）
定義域為{x|x≠kπ+
π
2
，k∈Z}．（6分）
（2）因f(α+
π
8
)=2cos(2α+
π
4
)=
2
5
，即cos(2α+
π
4
)=
2
10
＞0，
故2α+
π
4
為銳角，于是sin(2α+
π
4
)=
7
2
10
．（9分）
∴f（α）=2cos2α=2cos((2α+
π
4
)-
π
4
)=2cos(2α+
π
4
)cos
π
4
+2sin(2α+
π
4
)sin
π
4
=
8
5
．（12分）
點(diǎn)評：第（1）問中，必須注意tanx中x的條件限制．第（2）中，學(xué)生常會將“
2
10
=cos(2α+
π
4
)”展開，并結(jié)合cos22α+sin22α=1，求解方程組，求cos2α的值．但三角恒等變換中，“三變”應(yīng)加強(qiáng)必要的訓(xùn)練．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量
a
=（-1，2），又點(diǎn)A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）(0≤θ≤
π
2
)．
（1）若
AB
⊥
a
，且|
AB
|=
5
|
OA
|(O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求向量
OB
；
（2）若向量
AC
與向量
a
共線，當(dāng)k＞4，且tsinθ取最大值4時，求
OA
•
OC
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量 
a
=（1，2），
b
=（cosα，sinα），設(shè)
m
=
a
+t
b
（t為實數(shù)）．
（1）若α=
π
4
，求當(dāng)|
m
|取最小值時實數(shù)t的值；
（2）若
a
⊥
b
，問：是否存在實數(shù)t，使得向量
a
-
b
和向量
m
的夾角為
π
4
，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
（3）若
a
⊥
m
，求實數(shù)t的取值范圍A，并判斷當(dāng)t∈A時函數(shù)f（t）=（t，-3）•（t2，t）的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（-1，2），
b
=（1，1），t∈R．
（I）求＜
a
，
b
＞；  （II）求|
a
+t
b
|的最小值及相應(yīng)的t值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C：x2+y2=2，坐標(biāo)原點(diǎn)為O．圓C上任意一點(diǎn)A在x軸上的射影為點(diǎn)B，已知向量
OQ
=t
OA
+(1-t)
OB
(t∈R，t≠0)．
（1）求動點(diǎn)Q的軌跡E的方程；
（2）當(dāng)t=
2
2
時，過點(diǎn)S（0，-
1
3
）的動直線l交軌跡E于A，B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過T點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（1，2），
b
=(cosα，sinα)，設(shè)
m
=
a
+t
b
（t為實數(shù)）．
（1）若
a
與
b
共線，求tanα的值；
（2）若α=
π
4
，求當(dāng)|
m
|取最小值時實數(shù)t的值．

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