Question

11．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：f（0）=5，x＞0時(shí)，f（x）=x+$\frac{4}{x}$．
（1）求當(dāng)x≤0時(shí)．f（x）的解析式；
（2）請(qǐng)寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（不需證明）；
（3）當(dāng)x∈[-1，t]時(shí)，函數(shù)f（x）的取值范圍是[5，+∞），求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件，可設(shè)x＜0，-x＞0，從而帶入x＞0的解析式便可得到f（-x）=$-x-\frac{4}{x}$=f（x），再由f（0）=5便可寫出x≤0時(shí)的f（x）解析式；
（2）可描點(diǎn)畫(huà)出f（x）的圖象，根據(jù)圖象即可得出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）先求出f（-1）=f（1）=5，根據(jù)f（x）在（-2，0）和（0，2）的單調(diào)性及f（0）=5即可得出t需滿足0≤t≤1，這樣便得出了實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（1）由f（x）為偶函數(shù)，設(shè)x＜0，則-x＞0；
∴f（-x）=$-x-\frac{4}{x}=f（x）$；
又f（0）=5；
∴x≤0時(shí)的f（x）的解析式為：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{5}&{x=0}\\{-x-\frac{4}{x}}&{x＜0}\end{array}\right.$；
（2）f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（-2，0），（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為：（-∞，-2），（0，2）；
（3）x=-1時(shí)，f（x）=5，x從左邊趨向0時(shí)，f（x）趨向正無(wú)窮；
又f（0）=5，f（x）在（0，2）上遞減，f（1）=5；
又x∈[-1，t]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇5，+∞）；
∴0≤t≤1；
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為：[0，1]．

點(diǎn)評(píng) 考查偶函數(shù)的定義，根據(jù)函數(shù)奇偶性求函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上解析式的方法和過(guò)程，根據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，由值域求定義域的方法．