Question

1．根據(jù)下列條件，求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
（1）焦點在x軸上，焦距為6，離心率為$\frac{1}{2}$的橢圓
（2）一個焦點為（0，5），一條漸近線方程為y=$\frac{4}{3}$x的雙曲線．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)出橢圓方程，結(jié)合已知求出a，c的值，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）由題意設(shè)出雙曲線方程，求得到c，再由漸近線方程可得$\frac{a}=\frac{4}{3}$，聯(lián)立隱含條件求得a，b的值，則雙曲線方程可求．

解答 解：（1）由題意可知所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，
且2c=6，c=3，e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，
∴a=6，則b²=a²-c²=27．
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{27}=1$；
（2）由題意可知所求雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$，
且c=5，又$\frac{a}=\frac{4}{3}$，c²=a²+b²，解得：a=4，b=3．
∴雙曲線方程為：$\frac{{y}^{2}}{16}-\frac{{x}^{2}}{9}=1$．

點評 本題考查橢圓、雙曲線的簡單性質(zhì)，考查了橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，是基礎(chǔ)題．