設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且方程有一個(gè)根為,

(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;

(2)設(shè)方程的另一個(gè)根為,數(shù)列的前項(xiàng)和為,求的值;

(3)是否存在不同的正整數(shù),使得,成等比數(shù)列,若存在,求出滿足條件的,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

【答案】

(1)利用等差數(shù)列的定義證明即可,(2),(3)存在不同的正整數(shù),使得,成等比數(shù)列

【解析】

試題分析:(1)∵是方程的根,

當(dāng)時(shí),,∴

解得,∴                       2分

當(dāng)時(shí),,∴

化簡(jiǎn)得,∴,∴,

,又                  5分

∴數(shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列         6分

(2)由(1)得,

,帶入方程得,,∴,

∴原方程為,∴,∴     8分

                ①

          ②

① — ②得

   11分

,∴                          12分

(3)由(1)得,,假設(shè)存在不同的正整數(shù),使得,成等比數(shù)列,則

,∵               14分

,化簡(jiǎn)得,

,又∵,且

,∴                   16分

∴存在不同的正整數(shù),使得,成等比數(shù)列

考點(diǎn):本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)與求和

點(diǎn)評(píng):數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用是數(shù)列的重點(diǎn)內(nèi)容,數(shù)列的大題對(duì)邏輯推理能力有較高的要求,在數(shù)列中突出考查學(xué)生的理性思維,這是近幾年新課標(biāo)高考對(duì)數(shù)列考查的一個(gè)亮點(diǎn),也是一種趨勢(shì).隨著新課標(biāo)實(shí)施的深入,高考關(guān)注的重點(diǎn)為等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法等求數(shù)列的前n項(xiàng)的和等等

 

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設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)在數(shù)列的每?jī)身?xiàng)之間按照如下規(guī)則插入一些數(shù)后,構(gòu)成新數(shù)列:兩項(xiàng)之間插入個(gè)數(shù),使這個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,其公差為,求數(shù)列的前項(xiàng)和為.

 

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設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.

(Ⅰ)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;

(Ⅱ)求通項(xiàng)公式

(Ⅲ)若數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列的前項(xiàng)和為.

 

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(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列(4分)

(2)設(shè)數(shù)列的公比,數(shù)列滿足:,)(

 

,求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的前項(xiàng)和

 

 

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