Question

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且方程有一個(gè)根為，．

（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）設(shè)方程的另一個(gè)根為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的值；

（3）是否存在不同的正整數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，若存在，求出滿足條件的，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）利用等差數(shù)列的定義證明即可，（2），（3）存在不同的正整數(shù)，使得，，成等比數(shù)列

【解析】

試題分析：（1）∵是方程的根，

∴

當(dāng)時(shí)，，∴，

解得，∴                       2分

當(dāng)時(shí)，，∴

化簡(jiǎn)得,∴，∴，

∴，又                  5分

∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列         6分

（2）由（1）得，

∴，帶入方程得，，∴,

∴原方程為，∴，∴     8分

∴                ①

          ②

① — ②得

   11分

,∴                          12分

（3）由（1）得，，假設(shè)存在不同的正整數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，則

即,∵               14分

∴,化簡(jiǎn)得，

∴,又∵，且

∴∴，∴                   16分

∴存在不同的正整數(shù)，使得，，成等比數(shù)列

考點(diǎn)：本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)與求和

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用是數(shù)列的重點(diǎn)內(nèi)容，數(shù)列的大題對(duì)邏輯推理能力有較高的要求，在數(shù)列中突出考查學(xué)生的理性思維，這是近幾年新課標(biāo)高考對(duì)數(shù)列考查的一個(gè)亮點(diǎn)，也是一種趨勢(shì)．隨著新課標(biāo)實(shí)施的深入，高考關(guān)注的重點(diǎn)為等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法等求數(shù)列的前n項(xiàng)的和等等