Question

2．如圖，AB是圓O的直徑，AC是圓O的切線，BC交圓O點(diǎn)E．
（I）過點(diǎn)E做圓O的切線DE，交AC于點(diǎn)D，證明：點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)；
（Ⅱ）若OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE，求∠ACB大�。�

Answer 1

分析 （I）連接OE，OD，則△OED≌△OAD，證明OD∥BC，利用O為AB的中點(diǎn)，可得點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)；
（Ⅱ）連接AE，由射影定理有AE²=CE•BE，求出BE，AE，可得BC，即可求∠ACB大�。�

解答 證明：（I）連接OE，OD，則△OED≌△OAD，
∴∠AOD=∠EOD．
∵∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOE，
∴∠AOD=∠ABC，
∴OD∥BC，
∵O為AB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)；
解：（Ⅱ）連接AE，設(shè)CE=1，AE=x．則AB=2OA=$\sqrt{2}$，
∴BE=$\sqrt{2-{x}^{2}}$．
Rt△ABC中，由射影定理有AE²=CE•BE，
∴x²=$\sqrt{2-{x}^{2}}$．
∴x=1，
∴BC=BE+CE=2，
Rt△ABC中，sin∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠ACB=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，考查射影定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．