Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²-2x．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并畫出的f（x）圖象；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-k，利用圖象討論：當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，函數(shù)g（x）有一個(gè)零點(diǎn)？二個(gè)零點(diǎn)？三個(gè)零點(diǎn)？

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²-2x．
設(shè)x＜0可得-x＞0，則f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則f（x）=-f（-x）=-x²-2x
∴函數(shù)的圖象如圖所示
（II）由g（x）=f（x）-k=0可得f（x）=k
結(jié)合函數(shù)的圖象可知
①當(dāng)k＜-1或k＞1時(shí)，y=k與y=f（x）的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，即g（x）=f（x）-k有1個(gè)零點(diǎn)
②當(dāng)k=-1或k=1時(shí)，y=k與y=f（x）有2個(gè)交點(diǎn)，即g（x）=f（x）-k有2個(gè)零點(diǎn)
③當(dāng)-1＜k＜1時(shí)，y=k與y=f（x）有3個(gè)交點(diǎn)，即g（x）=f（x）-k有3個(gè)零點(diǎn)

分析：（Ⅰ）先設(shè)x＜0可得-x＞0，則f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x，由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)可得f（x）=-f（-x），可求，結(jié)合二次函數(shù)的圖象可作出f（x）的圖象
（II）由g（x）=f（x）-k=0可得f（x）=k，結(jié)合函數(shù)的圖象可，要求g（x）=f（x）-k的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，只要結(jié)合函數(shù)的圖象，判斷y=f（x）與y=k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的解析式，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用