Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD為梯形，AB∥DC，AB⊥BC．PA=AB=BC，點(diǎn)E在棱PB上，且PE=2EB．
（1）求證：PD∥平面EAC；
（2）求二面角A-EC-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明：根據(jù)題意建立空間坐標(biāo)系，不妨設(shè)PA=PB=PC=3，即可得到有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)D（3，y，0），寫出向量的坐標(biāo)利用，可得y=-3，所以DC=2AB，連接BD，交AC于點(diǎn)M，則，進(jìn)而得到，根據(jù)線面平行的判定定理可得線面平行．
（2）分別求出兩個(gè)平面的法向量，再利用向量間的有關(guān)運(yùn)算求出兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的二面角．
解答：解：（1）證明：以A為原點(diǎn)，AB，AP所在直線分別為y軸、z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)PA=PB=PC=3，則A（0，0，0），B（0，3，0），C（3，3，0），P（0，0，3），E（0，2，1）．
設(shè)D（3，y，0），則，
因?yàn)镃P⊥AD，
所以，解得：y=-3．
所以DC=2AB．---（3分）
連接BD，交AC于點(diǎn)M，則．
在△BPD中，，∴PD∥EM．-（5分）
又PD?平面EAC，EM?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．----（6分）
（2）設(shè)為平面EAC的一個(gè)法向量，則，
所以取z=2可得．
設(shè)為平面EBC的一個(gè)法向量，則，
又，，∴
∴可取．  （10分）
∴---（11分）
依題意得：二面角A-CE-B的余弦值為-．------（12分）
點(diǎn)評(píng)：夾角成立問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以便得到線面之間的關(guān)系進(jìn)而建立空間坐標(biāo)系利用空間向量夾角空間角問題．