Question

1．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{2{a}^{2}}{x}$+x（a≠0）．
（1）若函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x-2y+3=0垂直，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x-2y=0垂直則f′（1）=-2，從而可求出a的值；
（2）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，分類(lèi)討論，即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)性

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{2a}{{x}^{2}}$+1（x＞0）
根據(jù)題意，有f′（1）=-2，所以2a²-a-3=0，解得a=-1或a=$\frac{3}{2}$；
（2）f′（x）=$\frac{（x-a）（x+2a）}{{x}^{2}}$（x＞0），
①當(dāng)a＞0時(shí)，因?yàn)閤＞0，
由f′（x）＞0得（x-a）（x+2a）＞0，解得x＞a；
由f′（x）＜0得（x-a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜a．
所以函數(shù)f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，a）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)a＜0時(shí)，因?yàn)閤＞0，
由f′（x）＞0得（x-a）（x+2a）＞0，解得x＞-2a；
由f′（x）＜0得（x-a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜-2a．
所以函數(shù)f（x）在（-2a，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，-2a）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．