【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求函數(shù)的零點，以及曲線在處的切線方程；

（2）設方程（）有兩個實數(shù)根，，求證：.

【答案】（1）， （2）證明見解析

【解析】

（1）由求得函數(shù)零點，由導數(shù)的幾何意義可求得切線方程；

（2）根據(jù)導函數(shù)研究出函數(shù)的單調性，只有在時，，因此，考查（1）中切線，先證明（），只要構造函數(shù)在上單調遞增，易得證，方程的解為，（不妨設，則），要證不等式變形為證明，即證，由，，構造函數(shù)，結合導數(shù)知識可證．

（1）由，得，∴函數(shù)的零點是.

，，.

曲線在處的切線方程為.

，，

∴曲線在處的切線方程為

（2）.

當時，；當時，.

∴的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.

由（1）知，當或時，；當時，.

下面證明：當時，.

當時，

.

易知，在上單調遞增，

而，

∴對恒成立，

∴當時，.

由得.記.

不妨設，則，

∴.

要證，只要證，即證.

又∵，∴只要證，即.

∵，即證.

令.

當時，，為單調遞減函數(shù)；

當時，，為單調遞增函數(shù).

∴，∴，

∴

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，已知底面，，，，，是中點.

（1）求證:平面平面；

（2）若四棱錐的體積為1，求點到平面的距離.

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【題目】如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.

(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；

(2)求二面角B－A1D－A的正弦值．

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【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程；

（2）若點與點分別為曲線動點，求的最小值，并求此時的點坐標.

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【題目】在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的方程為.

（1）求曲線的直角坐標方程；

（2）設曲線與直線交于點，點的坐標為（3，1），求.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求直線與曲線相切時，切點的坐標；

（2）當時，恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，點P，Q分別為A1B1，BC的中點．

（1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；

（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，P為棱C1D1的中點，Q為棱BB1上的點，且BQ＝λBB1(λ≠0)．

（1）若λ＝，求AP與AQ所成角的余弦值；

（2）若直線AA1與平面APQ所成的角為45°，求實數(shù)λ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù).

(Ⅰ) 求曲線在點處的切線方程；

(Ⅱ) 討論函數(shù)的單調性；

(Ⅲ) 設,當時,若對任意的，存在，使得≥，求實數(shù)的取值范圍.

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