Question

已知三角形三邊長度a、b、c都是整數(shù)，并且a≤b≤c，b＝k(k為某正整數(shù))，求證：符合這樣條件的三角形共有個．

Answer 1

答案：
解析：

導(dǎo)思：尋求這個論題的證明方法時，既要考慮a、b、c是整數(shù)，又是三角形三邊的長度以及a≤b≤c，b＝k等已知條件，又要考慮滿足這些條件的三角形的個數(shù)，即符合條件a、b、c的各種不同數(shù)值的組合總數(shù)．要證明當(dāng)b＝k時各種組合總數(shù)為，就要探索符合條件的a、b、c的各種數(shù)值的組合方法．為此，可以通過k的某些特殊值來進(jìn)行研究． 　　探究：首先設(shè)b＝k＝1，根據(jù)條件a≤b≤c，∴a必須是滿足下面條件的整數(shù)：0＜a≤b或0＜a≤k即0＜a≤1，∴a＝1．當(dāng)b＝k＝1，a＝1時，由于三角形任一邊必小于其他兩邊的和，∴c必須是滿足下面條件的整數(shù)：b≤c＜a＋b或1≤c＜2，∴c＝1．由此來看，當(dāng)k＝1時，滿足條件的a、b、c的數(shù)值只有a＝b＝c＝1的一種組合方法，也就是滿足條件的三角形只有一個，這個結(jié)果與求證命題的結(jié)果：當(dāng)k＝1時，＝1，一致，設(shè)k＝2，則b＝2，a滿足0＜a≤b，即0＜a≤2的整數(shù)只有a＝1或a＝2，又∵b≤c＜a＋b，即2≤c＜a＋2，∴當(dāng)a＝1，b＝k＝2時，c＝2；當(dāng)a＝2，b＝k＝2時，c＝2或c＝3．綜上當(dāng)k＝2時，a、b、c各種數(shù)值有(1，2，2)，(2，2，2)，(2，2，3)，即共有三個三角形．這個結(jié)果與求證命題的結(jié)果也一致．從k＝1，k＝2的推理過程可以看出，b＝k的值確定后，由0＜a≤k，可得a＝1，2，…，k－1，k，再由b≤c＜a＋b得到a、b、c各種不同數(shù)值的組合方法，從而論證． 　　證明：當(dāng)b＝k(k為正整數(shù))時，由已知0＜a≤b且a為整數(shù)，∴a＝1，2，3，…，k－1，k．又∵c為整數(shù)，b≤c，三角形的任意一條邊必小于其他兩邊之和，∴b≤c＜a＋b，即k≤c＜a＋k，由此可看出當(dāng)b＝k時，c的值分別為 　　∴當(dāng)b＝k時，符合條件的三角形蘭有1＋2＋…＋(k－1)＋k＝個．