Question

定義域在R上奇函數(shù)f（x）滿足f（x+

5

2

）=-f（x），f（1）＞-1，f（4）=log_a2（a＞0且a≠1），則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：首先，根據(jù)f（x+

5

2

）=-f（x），得到f（x）是周期為5的函數(shù)，然后，得到f（1）=-log_a2，再結(jié)合f（1）＞-1，得到log_a2＜1=log_aa，對a的取值進行分類討論，得到答案．

解答： 解：∵f（x+

5

2

）=-f（x），
∴f（x+5）=f（x），
∴f（x）是周期為5的函數(shù)，
∵f（4）=f（5-1）=f（-1）=-f（1）=log_a2
∴f（1）=-log_a2
又∵f（1）＞-1，
∴-log_a2＞-1，
∴l(xiāng)og_a2＜1=log_aa，
∴當0＜a＜1時，
∴a＜2，
∴此時，0＜a＜1
當a＞1時，
∴a＞2，
此時，0＜a＜1
綜上，a＞2或0＜a＜1
故答案為：（0，1）∪（2，+∞）

點評：本題綜合考查了奇函數(shù)的性質(zhì)、周期函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等知識，屬于中檔題．注意分類討論思想在解題中的靈活運用．