Question

4．設(shè)橢圓短軸的一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)的最短距離為$\sqrt{3}$，則焦點(diǎn)在y軸上的橢圓方程是（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$或$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1

Answer 1

分析 由焦點(diǎn)在y軸上設(shè)橢圓方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），由題意可知a=2c，且a-c=$\sqrt{3}$，即可求得a和c，根據(jù)b²=a²-c²，求得橢圓方程．

解答 解：設(shè)橢圓方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
有題意可知：a=2c，且a-c=$\sqrt{3}$，
解的：a=2$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{3}$，
有b²=a²-c²=12-3=9，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查正三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．