Question

9．在△ABC中，sinB+sin（A-B）=sinC是sinA=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的（　�。�

• A． 充分非必要條件
• B． 必要非充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也非必要條件

Answer 1

分析 先根據兩角和差的正弦公式得到A=$\frac{π}{3}$，即sinA=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，充分性成立，當sinA=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得到A=$\frac{π}{3}$或A=$\frac{2π}{3}$，必要性不成立，問題得以解決

解答 解：∵sinB+sin（A-B）=sinC=sin（A+B），
∴sinB+sinAcosB-cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinB=2cosAsinB，
∵sinB≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，
∴sinA=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
當sinA=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$或A=$\frac{2π}{3}$，
故在△ABC中，sinB+sin（A-B）=sinC是sinA=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的充分非必要條件，
故選：A

點評 本題以三角形為載體，考查命題充要條件的意義和判斷方法，解題的關鍵是正確運用兩角和差的正弦公式及三角形性質，屬基礎題，