Question

12．在三棱錐E一ABC中，AB⊥AC，AB=1，AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，點(diǎn)D在線段BC上，且BD=2CD，ED⊥平面ABC．
（I）證明：AD⊥BE；
（Ⅱ）若AD=DE，求直線CE與平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）由已知可求BC，BD，DC的值，由于cos²B+cos²C=1，設(shè)AD=x，則由余弦定理可得27x⁴-42x²+11=0，解得AD，利用勾股定理可求AD⊥BC，利用線面垂直的性質(zhì)可證ED⊥AD，進(jìn)而可證AD⊥平面EBD，利用線面垂直的性質(zhì)可證AD⊥BE．
（Ⅱ）若AD=DE，求出C到平面ABE的距離，即可求直線CE與平面ABE所成角的正弦值．

解答 （I）證明：∵AB=1，AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AB⊥AC，
∴BC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵BD=2CD，可得：BD=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，DC=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴由cos²B+sin²B=1，cos²B+cos²C=1，
∴設(shè)AD=x，則由余弦定理可得：[$\frac{1+（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}-{x}^{2}}{2×\frac{\sqrt{6}}{3}}$]²+[$\frac{（\frac{\sqrt{6}}{6}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}-{x}^{2}}{2×\frac{\sqrt{6}}{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$]²=1，
整理可得：27x⁴-42x²+11=0，解得：x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，或$\frac{\sqrt{11}}{3}$（此時(shí)，AD＞AB＞BD，而B為銳角，故舍去），
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得：AD²+BD²=AB²，
∴AD⊥BC，
又∵ED⊥平面ABC，AD?平面ABC，可得：ED⊥AD，且ED∩BC=D，
∴AD⊥平面EBD，
∵BE?平面EBD，
∴AD⊥BE．
（Ⅱ）解：若AD=DE，則AE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，BE=1，CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，S_△ABE=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}×\sqrt{1-\frac{1}{6}}$=$\frac{\sqrt{5}}{6}$
設(shè)C到平面ABE的距離為h，則$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{5}}{6}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴h=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴直線CE與平面ABE所成角的正弦值=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了點(diǎn)面距離的計(jì)算，余弦定理，勾股定理，線面垂直的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．