Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足：2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2，n∈N^*），且a₁＞0，a₁、3、a₃依次成等比數(shù)列，則數(shù)列{a_n}前四項(xiàng)和的最小值為6$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2，n∈N^•），可得{a_n}是等差數(shù)列．根據(jù)a₁、3、a₃依次成等比數(shù)列，求出a₁，d的關(guān)系，表示出數(shù)列{a_n}前四項(xiàng)和，利用基本不等式，可求最小值．

解答 解：∵2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2，n∈N^•），
∴{a_n}是等差數(shù)列．
∵a₁、3、a₃依次成等比數(shù)列，
∴9=a₁（a₁+2d），∴d=$\frac{9}{2{a}_{1}}$-$\frac{1}{2}$a₁，
數(shù)列{a_n}前四項(xiàng)和S=4a₁+6d=a₁+$\frac{27}{{a}_{1}}$，
∵a₁＞0，∴S≥$2\sqrt{27}$=6$\sqrt{3}$，
∴數(shù)列{a_n}前四項(xiàng)和的最小值為6$\sqrt{3}$．
故答案為：6$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合，考查等差數(shù)列的求和公式，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．