Question

17．從某大學一年級女生中，選取身高分別是150cm、155cm、160cm、165cm、170cm的學生各一名，其身高和體重數(shù)據(jù)如表所示：

身高/cm（x）	150	155	160	165	170
體重/kg（y）	43	46	49	51	56

（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程；
（2）利用（1）中的回歸方程，計算身高為168cm時，體重的估計值$\stackrel{∧}{y}$為多少？
    參考公式：線性回歸方程 $\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$，其中$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）先求出橫標和縱標的平均數(shù)，得到這組數(shù)據(jù)的樣本中心點，利用最小二乘法求出線性回歸方程的系數(shù)，代入樣本中心點求出a的值，寫出線性回歸方程；
（2）由回歸直線方程，計算當x=168cm時，即可求得體重的估計值$\stackrel{∧}{y}$．

解答 解：（1）由已知數(shù)據(jù)，可得$\overline{x}=\frac{1}{5}（150+155+160+165+170）=160$，$\overline{y}=\frac{1}{5}（43+46+49+51+56）=49$，…（1分）$\sum_{i=1}^5{（{x_i}-\bar x）（{y_i}}-\bar y）=（150-160）（43-49）+（155-160）（46-49）+（160-160）（49-49）+$
（165-160）（51-49）+（170-160）（56-49）=155，$\sum_{i=1}^5{{{（{x_i}-\bar x）}^2}}={（150-160）^2}+{（155-160）^2}+{（160-160）^2}+{（165-160）^2}+{（170-160）^2}=250$，
∴$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^5{（{x_i}-\bar x）（{y_i}-\bar y）}}}{{\sum_{i=1}^5{{{（{x_i}-\bar x）}^2}}}}=\frac{155}{250}=0.62$，…（5分）
$\hat a=\bar y-\hat b\overline{x}=49-0.62×160=-50.2$，…（7分）
∴y關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.62x-50.2，…（9分）
（2）由（1）知，當x=168時，$\hat y=0.62×168-50.2=53.96$（kg）…（11分）
因此，當身高為168cm時，體重的估計值$\hat y$為53.96kg．     …（12分）

點評 本題考查線性回歸方程的求法，考查利用線性回歸方程進行預測，屬于基礎(chǔ)題．