Question

3．五一期間，某商場決定從2種服裝、3種家電、4種日用品中，選出3種商品進行促銷活動．
（1）試求選出3種商品中至少有一種是家電的概率；
（2）商場對選出的某商品采用抽獎方式進行促銷，即在該商品現(xiàn)價的基礎(chǔ)上將價格提高60元，規(guī)定購買該商品的顧客有3次抽獎的機會：若中一次獎，則獲得數(shù)額為n元的獎金；若中兩次獎，則獲得數(shù)額為3n元的獎金；若中三次獎，則共獲得數(shù)額為 6n元的獎金．假設(shè)顧客每次抽獎中獎的概率都是$\frac{1}{4}$，請問：商場將獎金數(shù)額n最高定為多少元，才能使促銷方案對商場有利？

Answer 1

分析 （1）設(shè)選出的3種商品中至少有一種是家電為事件A，
利用對立事件的概率求出A的概率值；
（2）設(shè)顧客三次抽獎所獲得的獎金總額為隨機變量ξ，
寫出ξ的所有可能取值，求出對應(yīng)的概率值，計算數(shù)學(xué)期望，
利用數(shù)學(xué)期望值列不等式，求出獎金數(shù)額n的最高值．

解答 解：（1）設(shè)選出的3種商品中至少有一種是家電為事件A，
從2種服裝、3種家電、4種日用品中，選出3種商品，一共有$C_9^3$種不同的選法，
選出的3種商品中，沒有家電的選法有${C}_{6}^{3}$種，
所以選出的3種商品中至少有一種是家電的概率為
$P（A）=1-\frac{C_6^3}{C_9^3}=1-\frac{5}{21}=\frac{16}{21}$；
（2）設(shè)顧客三次抽獎所獲得的獎金總額為隨機變量ξ，
其所有可能的取值為0，n，3n，6n；（單元：元）
ξ=0表示顧客在三次抽獎都沒有獲獎，
所以$P（ξ=0）=C_3^0{（\frac{1}{4}）^0}{（1-\frac{1}{4}）^3}=\frac{27}{64}$，
同理$P（ξ=n）=C_3^1{（\frac{1}{4}）^1}{（1-\frac{1}{4}）^2}=\frac{27}{64}$；
$P（ξ=3n）=C_3^2{（\frac{1}{4}）^2}（1-\frac{1}{4}）=\frac{9}{64}$；
$P（ξ=6n）=C_3^3{（\frac{1}{4}）^3}{（1-\frac{1}{4}）^0}=\frac{1}{64}$；
顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額的期望值是
$Eξ=0×\frac{27}{64}+n×\frac{27}{64}+3n×\frac{9}{64}+6n×\frac{1}{64}=\frac{15n}{16}$，
由$\frac{15n}{16}≤60$，解得n≤64，
所以n最高定為64元，才能使促銷方案對商場有利．

點評 本題考查了古典概型的概率以及離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計算問題，是中檔題．