Question

8．將圓$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.（θ$為參數(shù)）上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$倍，得到曲線C．
（1）求出C的普通方程；
（2）設(shè)直線l：x+2y-2=0與C的交點(diǎn)為P₁，P₂，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，
求過線段P₁P₂的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （1）求出C的參數(shù)方程，即可求出C的普通方程；
（2）求出P₁（2，0），P₂（0，1），則線段P₁P₂的中點(diǎn)坐標(biāo)為$（1，\frac{1}{2}）$，所求直線的斜率k=2，可得直線方程，即可求出極坐標(biāo)方程．

解答 解：（1）設(shè)（x₁，y₁）為圓上的任意一點(diǎn)，在已知的變換下變?yōu)镃上的點(diǎn)（x，y），
則有 $\left\{{\begin{array}{l}{x={x_1}}\\{y=\frac{1}{2}{y_1}}\end{array}}\right.$，
∵$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}=2cosθ}\\{{y_1}=2sinθ}\end{array}}\right.（θ為參數(shù)）∴\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.（θ為參數(shù)）$，∴$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\\{x+2y-2=0}\end{array}}\right.$解得：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}}\right.或\left\{{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}}\right.$，
所以P₁（2，0），P₂（0，1），則線段P₁P₂的中點(diǎn)坐標(biāo)為$（1，\frac{1}{2}）$，所求直線的斜率k=2，
于是所求直線方程為$y-\frac{1}{2}=2（x-1），即4x-2y-3=0$．
化為極坐標(biāo)方程得：4ρcosθ-2ρsinθ-3=0，即$ρ=\frac{3}{4cosθ-2sinθ}$．

點(diǎn)評 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查坐標(biāo)變換，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．