Question

8．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦點(diǎn)F（1，0），長軸的左、右端點(diǎn)分別為A₁，A₂；且$\overrightarrow{F{A_1}}•\overrightarrow{F{A_2}}=-1$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）已知點(diǎn)B（0，-1），經(jīng)過點(diǎn)（1，1）且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩P、Q點(diǎn)（均異于點(diǎn)B），證明：直線BP與BQ的斜率之和為定值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A₁（-a，0），A₂（a，0），則$\overrightarrow{F{A_1}}=（-a-1，0）$，$\overrightarrow{F{A_2}}=（a-1，0）$，利用$\overrightarrow{F{A_1}}•\overrightarrow{F{A_2}}=-1$．求出a，求出b，即可得到橢圓方程．
（2）直線PQ的方程為y=k（x-1）+1（k≠2），代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，消去y，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），x₁x₂≠0利用韋達(dá)定理，求出直線BP與BQ的斜率之和，化簡求解即可．

解答 （本題滿分12分）
（1）設(shè)A₁（-a，0），A₂（a，0），則$\overrightarrow{F{A_1}}=（-a-1，0）$，$\overrightarrow{F{A_2}}=（a-1，0）$，
由$\overrightarrow{F{A_1}}•\overrightarrow{F{A_2}}=-1$，得1-a²=-1，所以a²=2，橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦點(diǎn)F（1，0），可得c=1，則b²=1．
所以橢圓E的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）證明：由題設(shè)知，直線PQ的方程為y=k（x-1）+1（k≠2），
代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$得（1+2k²）x²-4k（k-1）x+2k（k-2）=0，
由已知△＞0  設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），x₁x₂≠0，
則${x_1}+{x_2}=\frac{4k（k-1）}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{2k（k-2）}{{1+2{k^2}}}$，
從而點(diǎn)線BP，BQ的斜率之和…（6分）
${k_{BP}}+{k_{BQ}}=\frac{{{y_1}+1}}{x_1}+\frac{{{y_2}+1}}{x_2}$=$\frac{{k{x_1}+2-k}}{x_1}+\frac{{k{x_2}+2-k}}{x_2}$=$2k+（2-k）\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}$
=$2k+（2-k）•\frac{4k（k-1）}{2k（k-2）}=2k-2（k-1）=2$．
故直線BP與BQ的斜率之和為定值．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．