Question

已知函數(shù)f（x）的定義域是D={x∈R|x≠0}，對(duì)任意x₁，x₂∈D都有：f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0．給出結(jié)論：①f（x）是偶函數(shù)；②f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．則正確結(jié)論的序號(hào)是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)抽象函數(shù)“湊”的原則，結(jié)合f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），分別令x₁=x₂=1，x₁=-1，x₂=1，求得f（-1）=0，令x₁=-1，易判斷出f（-x₂）與f（x₂）的關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，令x₁＞1，當(dāng)x＞1時(shí)f（x）＞0，我們易根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義得到結(jié)論．即可得到答案．

解答： 解：令x₁=x₂=1，
∴f（1）=2f（1），
∴f（1）=0，
令x₁=-1，x₂=1
f（-1）=f（-1）+f（1），
∴f（-1）=0，
令x₁=-1，
∴f（x₁•x₂）=f（-x₂）=f（-1）+f（x₂）；
又∵f（-1）=0
∴f（-x₂）=f（x₂）
故f（x）是偶函數(shù)；
令x₁＞1，當(dāng)x₂∈（0，+∞）時(shí)，x₁•x₂＞x₂
∵當(dāng)x＞1時(shí)f（x）＞0
∴f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）＞f（x₂）．
故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
故結(jié)論正確的序號(hào)是①．
故答案為：①

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明及抽象函數(shù)值，其中熟練掌握函數(shù)性質(zhì)的定義及判斷方法是解答本題的關(guān)鍵．