Question

銳角△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且tanA-tanB=

3

3

（1+tanAtanB）．
（Ⅰ）若c²=a²+b²-ab，求角A、B、C的大�。�
（Ⅱ）已知向量

m

=（sinA，cosA），

n

=（cosB，sinB），求|3

m

-2

n

|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,余弦定理

專題：解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（I）利用兩角差的正切公式和余弦定理及其三角形的內(nèi)角和定理即可得出；
（II）利用數(shù)量積運(yùn)算及其性質(zhì)、銳角三角形的定義、正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（I）∵tanA-tanB=

3

3

（1+tanAtanB），
∴tan（A-B）=

tanA-tanB

1+tanAtanB

=

3

3

，
∵A，B是銳角，∴A-B=

π

6

．
∵c²=a²+b²-ab，∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

ab

2ab

=

1

2

，
∵C為銳角，∴C=

π

3

．
∴A+B=

2π

3

，解得A=

5π

12

，B=

π

4

．
（II）∵向量

m

=（sinA，cosA），

n

=（cosB，sinB），
∴|

m

|=|

n

|=1，

m

•

n

=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sin(2B+

π

6

)，
∵銳角△ABC，∴A=B+

π

6

＜

π

2

，A+B=2B+

π

6

＞

π

2

，
解得

π

6

＜B＜

π

3

．∴

π

2

＜2B+

π

6

＜

5π

6

，
∴sin(2B+

π

6

)∈(

1

2

，1)．
∵|3

m

-2

n

|=

9 m 2+4 n 2-12 m • n

=

13-12sin(2B+ π 6 )

，
∴1＜13-12sin(2B+

π

6

)＜7．
∴

13-12sin(2B+ π 6 )

∈(1，

7

)，
∴|3

m

-2

n

|∈(1，

7

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩角差的正切公式、余弦定理及其三角形的內(nèi)角和定理、數(shù)量積運(yùn)算及其性質(zhì)、銳角三角形的定義、正弦函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．