Question

8．圓C₁：x²+y²+2x+8y-8=0，圓C₂：x²+y²-4x-4y-2=0．
（1）寫(xiě)出兩圓的圓心和半徑，試判斷圓C₁與圓C₂的位置關(guān)系；
（2）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，1）的直線1與圓C₂相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）圓：x²+y²+Dx+Ey+F=0的圓心（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$），半徑=$\frac{1}{2}\sqrt{{D}^{2}+{E}^{2}-4F}$，由此能求出兩圓的圓心和半徑，再求出圓心距，利用圓心距和兩圓半徑的關(guān)系能判斷圓C₁與圓C₂的位置關(guān)系．
（2）點(diǎn)A（-1，1）在圓C₂：x²+y²-4x-4y-2=0上，求出${k}_{A{C}_{2}}$=$\frac{1}{3}$，從而直線l的斜率k=-$\frac{1}{{k}_{A{C}_{2}}}$=-3，由此能求出直線l的方程．

解答 解：（1）圓C₁：x²+y²+2x+8y-8=0的圓心C₁（-1，-4），半徑r₁=$\frac{1}{2}\sqrt{4+64+32}$=5，
圓C₂：x²+y²-4x-4y-2=0的圓心C₂（2，2），半徑r₂=$\frac{1}{2}\sqrt{16+16+8}$=$\sqrt{10}$，
|C₁C₂|=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴|r₁-r₂|＜|C₁C₂|＜r₁+r₂，
∴圓C₁與圓C₂相交．
（2）點(diǎn)A（-1，1）在圓C₂：x²+y²-4x-4y-2=0上，
${k}_{A{C}_{2}}$=$\frac{2-1}{2+1}$=$\frac{1}{3}$，
∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，1）的直線1與圓C₂相切，
∴直線l的斜率k=-$\frac{1}{{k}_{A{C}_{2}}}$=-3，
∴直線l的方程為y-1=-3（x+1），即3x+y+2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓、直線方程、兩點(diǎn)間距離公式、斜率公式、切線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．